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Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'Anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.
Conversions
Énumération des premiers nombres
Les premiers nombres s'écrivent :
décimal binaire
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
(Sachant que les colonnes binaires correspondent respectivement à 8,4,2 et 1)
On passe d'un nombre binaire au suivant en ajoutant 1, comme en décimal, sans oublier les retenues et en utilisant les tables d'additions suivantes:
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10
ainsi:
11
+ 1
100
Détail :
1 + 1
10 => on pose 0, et retient 1
1 + 1(retenue) = 10 => on pose 0, et retient 1
0 + 1(retenue) = 1 => 1
L'arithmétique binaire (plus simplement le calcul binaire) est utilisé par les machines électroniques les plus courantes (calculatrices, ordinateurs, etc.) car la présence ou l'absence de courant peuvent servir à représenter les deux chiffres 0 et 1.
Tout nombre peut s'écrire en binaire, c'est à dire qu'il se décompose en somme de puissances de 2(1;2;4;8;16;32;64;...), par exemple 35 se décompose en :
1*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 = 32 + 2 + 1 = 35
donc le nombre décimal 35 se note 100011 en binaire.
Expression d'un nombre
Un nombre décimal à plusieurs chiffres tel que 123 s'exprime ainsi :
1*100+2*10+3*1 = 1*10 2 +2*10 1 +3*10 0
Sa représentation en binaire est 1111011 et s'exprime de la même façon :
1*64+1*32+1*16+1*8+0*4+1*2+1*1 = 1*2 6 +1*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0
suite de 1010-10100
Du système décimal vers le système binaire
Pour développer l'exemple ci-dessus, le nombre 45 853 écrit en base décimale provient de la somme de nombres ci-après écrits en base décimale. À dire vrai, pour proposer une méthode plus simple à comprendre, il faut trouver la puissance de 2 la plus grande possible inférieure ou égale au nombre de départ. On soustrait au nombre d'origine (RO) cette puissance, en notant un 1, puis l'on cherche à nouveau un multiple (RM) pour le reste (Rr).
- 1. RO= RM1+ Rr1
- 2. Rr1=RM2+Rr2
- 3. Rr2=RM3+Rr3
...
32 768 1 fois 32 768 on fait 2 multiplié 14 fois par lui même soit 215
+ 0 0 fois 16 384 on fait 2 multiplié 13 fois par lui même soit 214
+ 8 192 1 fois 8 192 idem 12 idem 213
+ 4 096 1 fois 4 096 idem 11 idem 212
+ 0 0 fois 2 048 idem 10 idem 211
+ 0 0 fois 1 024 idem 9 idem 210
+ 512 1 fois 512 idem 8 idem 29
+ 256 1 fois 256 idem 7 idem 28
+ 0 0 fois 128 idem 6 idem 27
+ 0 0 fois 64 idem 5 idem 26
+ 0 0 fois 32 idem 4 idem 25
+ 16 1 fois 16 idem 3 idem 24
+ 8 1 fois 8 idem 2 idem 23
+ 4 1 fois 4 idem 1 idem 22
+ 0 0 fois 2 idem 0 idem 21 = 2
+ 1 1 fois 1 20 = 1
45 853
Soit écrit en système positionnel et en numération décimale (en écrivant les puissances de 2) :
45 8531×215 + 0×214 + 1×213 + 1×212 + 0×211 + 0×210 + 1×29 + 1×28 +
0×27 + 0×26 + 0×25 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20
Soit en système positionnel et en numération binaire puisque l'on ne reporte pas les puissances de 2
45 853 décimal s'écrit 1011 0011 0001 1101 binaire (séparés par groupes de 4 bits pour aérer la lecture).
Ce nombre nécessite 16 bits pour son écriture (il est compris entre 2
15 et 2
16). L'autre méthode pour convertir un nombre décimal en base 2 est d'utiliser des successions de divisions par le nombre 2. Ainsi, on a:
45853 / 2 = 22926 reste 1
22926 / 2 = 11463 reste 0
11463 / 2 = 5731 reste 1
5731 / 2 = 2865 reste 1
2865 / 2 = 1432 reste 1
1432 / 2 = 716 reste 0
716 / 2 = 358 reste 0
358 / 2 = 179 reste 0
179 / 2 = 89 reste 1
89 / 2 = 44 reste 1
44 / 2 = 22 reste 0
22 / 2 = 11 reste 0
11 / 2 = 5 reste 1
5 / 2 = 2 reste 1
2 / 2 = 1 reste 0
1 / 2 = 0 reste 1
Soit (en lisant les restes obtenus en sens inverse): 1011001100011101
Entre les bases 2, 8 et 16
Du binaire vers octal ou hexadécimal
Les bases 8 (octale) et 16 (hexadécimale) sont des bases multiples de la base 2. Ces deux bases ont été couramment employées en informatique et pour des raisons pratiques; ces bases étant fortement liées à la base 2 et les nombres écrits dans ces bases étant plus "manipulables" (car d'écriture plus courte) par l'intellect humain. L'écriture de nombres dans ces bases est facilement obtenue par regroupement de chiffres de l'écriture du nombre en base 2.
- Octal : base 8 : 8 = 2 3 , il suffit de regrouper à partir de la droite et par paquets de 3 les chiffres binaires (voir bāguà). Chaque paquet de 3 (le dernier devant être parfois complété par des 0 à gauche), étant l'écriture binaire d'un chiffre en base 8 (08=000, 18=001, 28=010, 38=011, 48=100, 58=101, 68=110, 78=111).
- 101011011102 va s'écrire 10 101 101 110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en un chiffre octal, on obtient le nombre octal 25568.
- Hexadécimal : base 16 : 16 = 2 4 , donc on regroupe à partir de la droite et par paquets de 4 les chiffres binaires. Chaque paquet de 4 bits étant la représentation binaire d'un chiffre en base 16. Il faut donc 16 chiffres, il a été décidé d'utiliser les 10 chiffres décimaux plus les 6 premiers caractères de l'alphabet avec la convention suivante: A16=1010=10102, B16=1110=10112, C16=1210=11002, D16=1310=11012, E16=1410=11102 et F16=1510=11112.
- 101011011102 va s'écrire 101 0110 1110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en décimal on obtient : 5, 6, 14 c'est-à-dire 56E16.
On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.
Vers le binaire
Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire.
- 1A2F16 va s'écrire 1, 10=8+2, 2, 15=8+4+2+1 soit 1 1010 0010 11112
- 1568 va s'écrire 1, 5=4+1, 6=4+2 soit 1 101 1102
Table des valeurs des groupements de chiffres binaires
| Binaire | Décimal | Octal | Hexadécimal |
|---|
| 0000 | 0 | 0 | 0 | | 0001 | 1 | 1 | 1 | | 0010 | 2 | 2 | 2 | | 0011 | 3 | 3 | 3 | | 0100 | 4 | 4 | 4 | | 0101 | 5 | 5 | 5 | | 0110 | 6 | 6 | 6 | | 0111 | 7 | 7 | 7 |
| | Binaire | Décimal | Octal | Hexadécimal |
|---|
| 1000 | 8 | 10 | 8 | | 1001 | 9 | 11 | 9 | | 1010 | 10 | 12 | A | | 1011 | 11 | 13 | B | | 1100 | 12 | 14 | C | | 1101 | 13 | 15 | D | | 1110 | 14 | 16 | E | | 1111 | 15 | 17 | F |
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Voir aussi
Liens externes